Cum rezolv următoarele :

© o să țină locul semnului compus 

1 X©Y=(X-5)(Y-5)+5

a. (R,©) grup abelian

b. Calculați (-3)©7©15=

c.(-100)©(-99)©...©99©100 

d.Rez.ec x©x=9

Plecam de la definitia grupului abelian (sau grup comutativ):

Un cuplu {\displaystyle (G,\circ )}, format dintr-o mulțime nevidă G și o lege de compoziție internă "{\displaystyle \circ }" pe G, este grup dacă sunt satisfăcute axiomele:

1. Axioma închiderii

   Oricare ar fi x și y din G, și rezultatul operației {\displaystyle x\circ y} face parte din G



2. Axioma asociativității

   Oricare ar fi x,y,z din G, {\displaystyle (x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)}



3. Axioma elementului neutru

   Există un element e în G, astfel încât {\displaystyle e\circ x=x\circ e=x}, oricare ar fi x din G



4. Axioma elementelor simetrice

   Oricare ar fi x din G, există y în G cu proprietatea că {\displaystyle x\circ y=y\circ x=e}

   Dacă este satisfăcută și axioma



5. Axioma comutativității

   Oricare ar fi x,y din G, {\displaystyle x\circ y=y\circ x}

   atunci grupul {\displaystyle (G,\circ )} se numește grup comutativ sau abelian.

Trebuie sa verificam axiomele.

1. Oricare ar fi x, y ∈ R, x ο y ∈ R pentru ca (x-5)(y-5)+5 ∈ R

Aceasta axioma se verifica

2. Asociativitatea.

(x ο y) ο z = x ο (y ο z).

Inlocuiesti si faci calculele si ajungi la acelasi rezultat. Nu am timp acum sa fac toate calulele.

3. Elementul neutru

In cazul nostru, elementul neutru este 6.

Sa verificam

x ο 6 = (x-5)(6-5) + 5 = x - 5 + 5 = x

6 ο x = (6 - 5)(x-5) + 5 = x-5 + 5 = 1

Deci se verifica

4. Comutativitatea

x ο y = (x-5)(y-5) + 5 = (y-5)(x-5) + 5 = y ο x

Se verifica. Deci, este grup abelian.

b) (-3) ο 7 ο 15 = [(-3 - 5)(7 - 5) + 5] ο 15 = -11 ο 15 = -155

d) x ο x = 9

(x - 5)(x - 5) + 5 = 9 <=> x² -10x + 30 = 9 <=> x² -10x + 21 = 0

Rezolvi aceasta ecuatie de gradul al II-lea si afli rezultatul